问题及解答

求定积分

\[
\int_{-\infty}^{+\infty}x^4 e^{-\frac{x^2}{2}}dx
\]

一般的, 可以证明

\[
\int_0^{+\infty}x^{2n}e^{-x^2}dx=\frac{(2n-1)!!}{2^{n+1}}\sqrt{\pi}
\]

参见《吉米多维奇》第五册, 第3850题.

更一般的,

\[
\int_0^{+\infty}x^{2n}e^{-px^2}dx=\frac{1}{2}p^{-(n+\frac{1}{2})}\Gamma(n+\frac{1}{2})=\frac{(2n-1)!!}{2(2p)^n}\sqrt{\frac{\pi}{p}},
\]

\[
\int_0^{+\infty}x^m e^{-px^2}dx=\frac{1}{2p^{(m+1)/2}}\Gamma(\frac{m+1}{2})
\]

\[
\int_0^{+\infty}x^{2n+1}e^{-px^2}dx=\frac{1}{2}p^{-(n+1)}\Gamma(n+1)=\frac{n!}{2p^{n+1}}.
\]

以上 $p > 0$, $n=0,1,2,\ldots$

Note:

第一题的最后一个等号使用了下面的公式 (参见问题714)

\[
\frac{\Gamma(n+\frac{1}{2})}{\sqrt{\pi}\Gamma(n+1)}=\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}.
\]

[Hint] 既然积分最后可以表示为 Gamma 函数, 则积分应该转为 Gamma 函数的定义形式.

Remark:

上面更一般情形的题目由 QQ:1608007082 提供, 非常感谢！

这里直接引用了《吉米多维奇》第五册第3850题的解答.

\[
\begin{split}
\int_0^{+\infty}x^{2n}e^{-x^2}dx&=\frac{1}{2}\int_0^{+\infty}x^{2n-1}e^{-x^2}d(x^2)\\
&=\frac{1}{2}\int_0^{+\infty} t^{\frac{2n-1}{2}}e^{-t}dt\\
&=\frac{1}{2}\Gamma(\frac{2n+1}{2})\\
&=\frac{1}{2}\cdot\frac{1\cdot 3\cdots (2n-1)}{2^n}\sqrt{\pi}\\
&=\frac{(2n-1)!!}{2^{n+1}}\sqrt{\pi}.
\end{split}
\]