问题及解答

性质. ($\chi^2$-分布的可加性)

若 $Y_1,Y_2,\ldots,Y_k$ 相互独立且都服从 $\chi^2$-分布, 自由度分别为 $n_1,n_2,\ldots,n_k$. 即

\[
Y_i\sim\chi^2(n_i),\quad i=1,2,\ldots,k,
\]

则

\[
\sum_{i=1}^{k}Y_i\sim\chi^2(n),\quad\text{where}\ n=\sum_{i=1}^{k}n_i.
\]

根据条件 $Y_i\sim\chi^2(n_i)$, $i=1,2,\ldots,k$, 有

\[
Y_i=\sum_{j=1}^{n_i}X_{ij}^2,\quad X_{ij}\sim N(0,1).
\]

于是

\[
\sum_{i=1}^{k}Y_i=\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{n_i}X_{ij}^2\ \sim\ \chi^2(n_1+n_2+\cdots+n_k).
\]