两个正态总体的统计量的分布
设 $X$ 和 $Y$ 是分布服从 $N(\mu_1,\sigma_1^2)$ 和 $N(\mu_2,\sigma_2^2)$ 的两个总体. 分别从它们中抽取容量为 $n_1$ 和 $n_2$ 的样本 $\{X_i\}_{i=1}^{n_1}$, $\{Y_j\}_{j=1}^{n_2}$. 假设所有的抽样都是相互独立的, 由此得到的样本 $X_i$ 和 $Y_j$ 都是相互独立的随机变量.
设样本 $\{X_i\}_{i=1}^{n_1}$, $\{Y_j\}_{j=1}^{n_2}$ 的均值分别为 $\bar{X}$ 和 $\bar{Y}$, 样本方差分别为 $s_1^2$ 和 $s_2^2$, 则有
(1)
\[
U:=\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}}\ \sim\ N(0,1).
\]
特别地, 若 $\sigma_1=\sigma_2=\sigma$ 时, 有
\[
U:=\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-(\mu_1-\mu_2)}{\sigma\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}\ \sim\ N(0,1).
\]
(2)
\[
F:=\frac{\frac{s_1^2}{\sigma_1^2}}{\frac{s_2^2}{\sigma_2^2}}\ \sim\ F(n_1-1,n_2-1).
\]
(3)
若 $\sigma_1=\sigma_2$, 则
\[
T:=\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-(\mu_1-\mu_2)}{s\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}\ \sim\ t(n_1+n_2-2),
\]
其中
\[
s=\sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}}.
\]
References:
赵静、但琦 等编 《数学建模与数学实验》(第四版), 高等教育出版社. P. 186.