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问题及解答

两个正态总体的统计量的分布

Posted by haifeng on 2018-06-02 07:09:51 last update 2018-08-12 12:52:28 | Edit | Answers (3)

设 $X$ 和 $Y$ 是分布服从 $N(\mu_1,\sigma_1^2)$ 和 $N(\mu_2,\sigma_2^2)$ 的两个总体. 分别从它们中抽取容量为 $n_1$ 和 $n_2$ 的样本 $\{X_i\}_{i=1}^{n_1}$, $\{Y_j\}_{j=1}^{n_2}$. 假设所有的抽样都是相互独立的, 由此得到的样本 $X_i$ 和 $Y_j$ 都是相互独立的随机变量.

设样本 $\{X_i\}_{i=1}^{n_1}$, $\{Y_j\}_{j=1}^{n_2}$ 的均值分别为 $\bar{X}$ 和 $\bar{Y}$, 样本方差分别为 $s_1^2$ 和 $s_2^2$, 则有

 

(1)

\[
U:=\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}}\ \sim\ N(0,1).
\]

特别地, 若 $\sigma_1=\sigma_2=\sigma$ 时, 有

\[
U:=\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-(\mu_1-\mu_2)}{\sigma\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}\ \sim\ N(0,1).
\]

 

 

(2)

\[
F:=\frac{\frac{s_1^2}{\sigma_1^2}}{\frac{s_2^2}{\sigma_2^2}}\ \sim\ F(n_1-1,n_2-1).
\]

 

 

(3)

若 $\sigma_1=\sigma_2$, 则

\[
T:=\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-(\mu_1-\mu_2)}{s\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}\ \sim\ t(n_1+n_2-2),
\]

其中

\[
s=\sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}}.
\]

 


References:

赵静、但琦 等编 《数学建模与数学实验》(第四版),  高等教育出版社.  P. 186.

1

Posted by haifeng on 2018-06-02 09:59:52

(1) 根据问题2141 , $\bar{X}\sim N(\mu_1,\frac{\sigma_1^2}{n_1})$, $\bar{Y}\sim N(\mu_2,\frac{\sigma_2^2}{n_2})$, 故由正态分布的基本性质 , 得

\[
\bar{X}-\bar{Y}\ \sim\ N(\mu_1-\mu_2, \frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}),
\]

这等价于

\[
\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}}\ \sim\ N(0,1).
\]

 

2

Posted by haifeng on 2018-06-02 10:05:59

(2) 根据问题2141 ,

\[
\frac{(n_1-1)s_1^2}{\sigma_1^2}\sim\chi^2(n_1-1),\quad\frac{(n_2-1)s_2^2}{\sigma_2^2}\sim\chi^2(n_2-1).
\]

于是由 $F$-分布的定义,

\[
\frac{\frac{(n_1-1)s_1^2}{\sigma_1^2}}{\frac{(n_2-1)s_2^2}{\sigma_2^2}}\ \sim\ F(n_1-1,n_2-1),
\]

此即

\[
\frac{s_1^2/\sigma_1^2}{s_2^2/\sigma_2^2}\ \sim\ F(n_1-1,n_2-1).
\]

3

Posted by haifeng on 2018-06-02 10:51:04

(3) 上面已经阐明

\[
\frac{(n_1-1)s_1^2}{\sigma_1^2}\sim\chi^2(n_1-1),\quad\frac{(n_2-1)s_2^2}{\sigma_2^2}\sim\chi^2(n_2-1).
\]

根据 $\chi^2$-分布的可加性, 我们有

\[
V:=\frac{(n_1-1)s_1^2}{\sigma_1^2}+\frac{(n_2-1)s_2^2}{\sigma_2^2}\ \sim\ \chi^2(n_1+n_2-2).
\]

又由 (1)

\[U:=\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}}\ \sim\ N(0,1)\]

因此, 根据 $t$-分布的定义,

\[
T:=\frac{U}{\sqrt{\frac{V}{n_1+n_2-2}}}\ \sim\ t(n_1+n_2-2).
\]

不难计算, 当 $\sigma_1=\sigma_2$ 时,

\[
\begin{split}
\frac{U}{\sqrt{\frac{T}{n_1+n_2-2}}}&=\frac{\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}}}{\sqrt{\frac{\frac{(n_1-1)s_1^2}{\sigma_1^2}+\frac{(n_2-1)s_2^2}{\sigma_2^2}}{n_1+n_2-2}}}\\
&=\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-(\mu_1-\mu_2)}{\sigma_1\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}\cdot\frac{1}{\sigma_1}\sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}}}\\
&=\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}\cdot\sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}}}.
\end{split}
\]

因此, 若记 $s=\sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}}$, 则

\[
T=\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-(\mu_1-\mu_2)}{s\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}\ \sim\ t(n_1+n_2-2).
\]