问题及解答

几何分布

若随机变量 $X$ 的概率分布为

\[
P\{X=k\}=pq^{k-1},\quad k=1,2,\ldots.
\]

其中 $q=1-p$, 则称 $X$ 服从几何分布, 记为 $X\sim $.

证明: $E(X)=\frac{1}{p}$.

例.  某试验在同一条件下独立重复进行, 直到成功两次为止. 设每次试验成功的概率为 $p$, 令 $X$ 为第一次成功之前失败的次数, $Y$ 为两次成功之间的失败次数, 求 $X$ 和 $Y$ 的联合分布律.

解. 记 $q=1-p$, 即每次试验失败的概率为 $q$. $P\{X=i\}$ 指第一次成功之前失败了 $i$ 次的概率, 即为 $pq^i$. 而 $P\{Y=j\}$ 指两次成功之间失败次数为 $j$ 的概率. 由于失败 $j$ 次之前是成功的, 后面必是成功的, 否则失败次数就大于 $j$ 了. 故概率为 $pq^{j}$.

于是, 

\[
p_{ij}=P\{X=i,Y=j\}=P\{X=i\}\cdot P\{Y=j\}=pq^i\cdot pq^j=p^2 q^{i+j},\quad i,j=0,1,2,\ldots
\]

此即 $X$ 和 $Y$ 的联合分布律.

\[
E(X)=\sum_{k=1}^{+\infty}x_k p_k=\sum_{k=1}^{+\infty}k\cdot pq^{k-1}.
\]

注意到 $kq^{k-1}=\frac{dq^k}{dq}$, 于是

\[
\begin{split}
E(X)&=\sum_{k=1}^{+\infty}p(q^k)'_q\\
&=p\biggl(\sum_{k=1}^{+\infty}q^k\biggr)'_q\\
&=p\biggl(\frac{q}{1-q}\biggr)'_q\\
&=p\cdot\frac{1\cdot(1-q)-q\cdot(-1)}{(1-q)^2}\\
&=p\cdot\frac{1}{(1-q)^2}\\
&=\frac{1}{p}.
\end{split}
\]

注: 这里第二个等号成立是因为 $\sum\limits_{k=1}^{+\infty}q^k$ 收敛, 因而能够逐项求导.