问题及解答

几何分布

若随机变量 $X$ 的概率分布为

\[
P\{X=k\}=pq^{k-1},\quad k=1,2,\ldots.
\]

其中 $q=1-p$, 则称 $X$ 服从几何分布, 记为 $X\sim $.

证明: $E(X)=\frac{1}{p}$.

\[
E(X)=\sum_{k=1}^{+\infty}x_k p_k=\sum_{k=1}^{+\infty}k\cdot pq^{k-1}.
\]

注意到 $kq^{k-1}=\frac{dq^k}{dq}$, 于是

\[
\begin{split}
E(X)&=\sum_{k=1}^{+\infty}p(q^k)'_q\\
&=p\biggl(\sum_{k=1}^{+\infty}q^k\biggr)'_q\\
&=p\biggl(\frac{q}{1-q}\biggr)'_q\\
&=p\cdot\frac{1\cdot(1-q)-q\cdot(-1)}{(1-q)^2}\\
&=p\cdot\frac{1}{(1-q)^2}\\
&=\frac{1}{p}.
\end{split}
\]

注: 这里第二个等号成立是因为 $\sum\limits_{k=1}^{+\infty}q^k$ 收敛, 因而能够逐项求导.