问题及解答

$\Gamma$-分布

若随机变量 $X$ 的概率密度函数定义为

\[
f(x)=\begin{cases}
\frac{\lambda^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\lambda x}, & x > 0,\\
0, & x\leqslant 0,
\end{cases}
\]

其中 $\lambda > 0$, $\alpha > 0$, 则称 $X$ 服从参数为 $\lambda,\alpha$ 的 Gamma 分布, 记为 $X\sim\Gamma(\lambda,\alpha)$.

(关于 Gamma 函数 )

特别地, 当 $\alpha=1$ 时, 对于 $x > 0$,

\[
f(x)=\frac{\lambda^1}{\Gamma(1)}x^{1-1}e^{-\lambda x}=\lambda e^{-\lambda x}.
\]

此时 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布 $\mathrm{Exp}(\lambda)$.

Gamma 函数的 PDF 显然定义是合理的, 事实上

\[
\begin{split}
&\int_{0}^{+\infty}f(x)dx\\
=&\int_{0}^{+\infty}\frac{\lambda^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\lambda x}dx\\
=&\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_{0}^{+\infty}(\lambda x)^{\alpha-1}e^{-\lambda x}d(\lambda x)\\
\xlongequal{t:=\lambda x}&\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_{0}^{+\infty}t^{\alpha-1}e^{-t}dt\\
=&\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\cdot\Gamma(\alpha)\\
=&1.
\end{split}
\]