问题及解答

(1) 均匀分布 $U[a,b]$

若随机变量 $X$ 的概率密度函数(Probability density function, PDF)定义为

\[
f(x)=\begin{cases}
\frac{1}{b-a}, & x\in[a,b],\\
0, & x\in(-\infty,a)\cup(b,+\infty).
\end{cases}
\]

则称此随机变量服从于均匀分布 $U[a,b]$, 记为 $X\sim U[a,b]$.

显然, $f(x)$ 满足 $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x=1$.

期望: $E(X)=\frac{a+b}{2}$.

\[
E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx=\int_a^b x\cdot\frac{1}{b-a}dx=\frac{1}{b-a}\cdot\frac{1}{2}x^2\biggr|_{a}^{b}=\frac{1}{b-a}\cdot\frac{b^2-a^2}{2}=\frac{a+b}{2}.
\]