问题及解答

求下列微分方程组的通解.

\[
\begin{cases}
\dfrac{dx}{dt}=2x-3y+3z,\\
\dfrac{dy}{dt}=4x-5y+3z,\\
\dfrac{dz}{dt}=4x-4y+2z.\\
\end{cases}
\]

References:

《数学建模与数学实验》（第四版）P.130

原方程组可以写为

\[
\begin{pmatrix}
x'(t)\\ y'(t)\\ z'(t)\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
2 & -3 & 3\\
4 & -5 & 3\\
4 & -4 & 2\\
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\\
\end{pmatrix}
\]

我们将其进行初等行变换

\[
\xrightarrow{r_3-r_2}
\begin{pmatrix}
x'\\ y'\\ z'-y'\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
2 & -3 & 3\\
4 & -5 & 3\\
0 & 1 & -1\\
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\\
\end{pmatrix}
\]

因此得 $(z-y)'(t)=-(z-y)$, 可求出 $z(t)-y(t)=C_1 e^{-t}$.

继续作初等行变换,

\[
\begin{split}
&\xrightarrow{r_2-2r_1}
\begin{pmatrix}
x'\\ y'-2x'\\ z'-y'\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
2 & -3 & 3\\
0 & 1 & -3\\
0 & 1 & -1\\
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\\
\end{pmatrix}\\
&\xrightarrow{r_1+r_2}
\begin{pmatrix}
y'-x'\\ y'-2x'\\ z'-y'\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
2 & -2 & 0\\
0 & 1 & -3\\
0 & 1 & -1\\
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\\
\end{pmatrix}
\end{split}
\]

故得 $(y-x)'=-2(y-x)$. 由此解得 $y(t)-x(t)=C_2e^{-2t}$.

接下来考虑方程 $y'-2x'=y-3z$.

\[
\begin{aligned}
y'-2x' &=y-3z\\
\Rightarrow (y'-x')-x' &=y-3(y+C_1 e^{-t})\\
\Rightarrow -2(y-x)-x' &=-2y-3C_1 e^{-t}\\
\Rightarrow x'-2x &=3C_1 e^{-t}.
\end{aligned}
\]

回忆一阶线性非其次常微分方程的求解公式

解得

\[
\begin{split}
x(t)&=e^{-\int(-2)dt}\biggl[\int 3C_1 e^{-t}e^{\int (-2)dt}dt+C_3\biggr]\\
&=e^{2t}\biggl[\int 3C_1e^{-t}e^{-2t}dt+C_3\biggr]\\
&=e^{2t}\biggl[3C_1\int e^{-3t}dt+C_3\biggr]\\
&=e^{2t}\bigl[-C_1 e^{-3t}+C_3\bigr]\\
&=-C_1 e^{-t}+C_3 e^{2t}.
\end{split}
\]

从而,

\[
\begin{aligned}
y(t)&=x(t)+C_2 e^{-2t}=-C_1 e^{-t}+C_3 e^{2t}+C_2e^{-2t},\\
z(t)&=y(t)+C_1 e^{-t}=C_3 e^{2t}+C_2 e^{-2t}.
\end{aligned}
\]