问题及解答

一电路由三个电阻 $R_1, R_2, R_3$ 并联，再与电阻 $R_4$ 串联而成，记 $R_k$ 上电流为 $I_k$，电压为 $V_k$, $k=1,2,3,4$。在下列情况下确定 $R_k$，使电路总功率最小：

（1）$I_1=4$, $I_2=6$, $I_3=8$, $2\leqslant V_k\leqslant 10$；

References:

《数学建模与数学实验》P. 83

目标函数

\[
\begin{split}
\min P&=\sum_{i=1}^{4}I_i^2 R_i\\
&=4^2 R_1+6^2 R_2+8^2 R_3+18^2 R_4\\
&=16 R_1+36 R_2+64 R_3+324 R_4\\
\end{split}
\]

由于 $R_1, R_2, R_3$ 是并联的, 因此它们两端的电压相同. 因此有 $V_1=V_2=V_3$, 即

\[
I_1R_1=I_2 R_2=I_3 R_3\Longrightarrow 4R_1=6R_2=8R_3.
\]

将此写为矩阵的形式, 如下:

\[
\begin{pmatrix}
4 & -6 & 0 & 0\\
0 & 6 & -8 & 0\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}R_1\\ R_2\\ R_3\\ R_4\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}0\\ 0\end{pmatrix}
\]

另外, 题中对于电压有约束 $2\leqslant V_k=I_k R_k\leqslant 10$, $k=1,2,3,4$. 注意这里 $I_4=I_1+I_2+I_3=18$. 因此, 我们有

\[
\begin{cases}
2\leqslant 4R_1\leqslant 10,\\
2\leqslant 6R_2\leqslant 10,\\
2\leqslant 8R_3\leqslant 10,\\
2\leqslant 18R_4\leqslant 10,\\
\end{cases}\Longrightarrow
\begin{cases}
\frac{1}{2}\leqslant R_1\leqslant\frac{5}{2},\\
\frac{1}{3}\leqslant R_1\leqslant\frac{5}{3},\\
\frac{1}{4}\leqslant R_1\leqslant\frac{5}{4},\\
\frac{1}{9}\leqslant R_1\leqslant\frac{5}{9}.\\
\end{cases}
\]

MATLAB 代码

f=[16,36,64,324];
A=[];
b=[];
Aeq=[4,-6,0,0;0,6,-8,0];
beq=[0;0];
vlb=[1/2;1/3;1/4;1/9];
vub=[5/2;5/3;5/4;5/9];
[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)

运算结果

x =
    0.5000
    0.3333
    0.2500
    0.1111
fval =
   72.0000