问题及解答

证明图中两块阴影部分的面积相等, 即 $A=B$.

 

 

翼とレンズ　　翻译：　飞翼与透镜   wings and lens

 

翼（つばさ）

 

 

The picture is provided by Lei LIU.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

这里我们给出一个不使用圆面积公式的证法。具体如下图

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

首先看边长为 1 的正方形, 如果将其边长放大为原来的两倍, 则面积变为原来的四倍.

现在在边长为 1 的正方形中取内接圆. 同时放大这两个对象, 那么圆的面积理应也变为原来的四倍. 

 

事实上, 这是可以严格证明的.

 

 

 

Claim. 半径为 2 的圆盘的面积是半径为 1 的圆盘面积的 4 倍.

Pf. 设 $r_1$ 是边长为 1 的正方形 $R_1$ 的面积, $d_1$ 是其内接圆 $S_1$ 所围成的圆盘 $D_1$ 的面积. 将它们放大 2 倍. 得 $R_2$ 和 $D_2$. 于是

\[
r_2=4r_1.
\]

假设 $\frac{d_2}{d_1}=h > 4$.

继续将 $R_2$ 和 $D_2$ 放大 2 倍等等. 得到 $R_1,R_2,R_3,R_4,\ldots,R_k$, 和 $D_1,D_2,D_3,D_4,\ldots,D_k$.

这里

\[
\frac{r_{i+1}}{r_i}=4,\quad\frac{d_{i+1}}{d_i}=h > 4.
\]

于是

\[
\frac{d_k}{r_k}=\frac{\frac{d_k}{d_{k-1}}\cdot\frac{d_{k-1}}{d_{k-2}}\cdots\frac{d_2}{d_1}\cdot d_1}{\frac{r_k}{r_{k-1}}\cdot\frac{r_{k-1}}{r_{k-2}}\cdots\frac{r_2}{r_1}\cdot r_1} = (\frac{h}{4})^{k-1}\cdot\frac{d_1}{r_1}
\]

由于 $\frac{h}{4} > 1$, 从而存在 $k$ 使得 $\frac{d_k}{r_k} > 1$. 这是不可能的.

另一方面 $h < 4$ 也是不可能的. 因此只能是 $h=4$.

 

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Remark:

如果是讲给小学生听, 则可以这样启蒙:

我们所研究的平面是欧氏平面(Euclidean space)，是平直的. 各部分放大的比例因子应该是一样的. 如果内部的圆盘放大后, 面积比原来的 4 倍还多, 那么圆盘在正方形中余下的部分在放大后的面积应该比原来的 4 倍少一点. 久而久之, 圆盘会像气球一样撑大, 其边界会慢慢贴紧正方形的边界. 但是这已经不再是圆了.

因此, 圆盘半径放大两倍后, 面积是原来的 4 倍.