问题及解答

设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续, 在 $(0,1)$ 上可导. 且满足 $f(0)=0$, $f(1)=2$.

证明:

(1) 存在 $\xi\in(0,1)$, 使得 $f(\xi)=1$;

(2) 存在 $0 < x_1 < x_2 < 1$, 使得 $\frac{1}{f'(x_1)}+\frac{1}{f'(x_2)}=1$.

(1) 令 $g(x)=f(x)-1$, 则 $g(x)\in C[0,1]$. 易见

\[
g(0)=f(0)-1=0-1=-1 < 0,\qquad g(1)=f(1)-1=2-1=1 > 0.
\]

故存在 $\xi\in(0,1)$, 使得 $g(\xi)=0$. 此即 $f(\xi)=1$.

(2) 在 $[0,\xi]$ 和 $[\xi, 1]$ 上, $f(x)$ 满足 Lagrange 中值定理的条件. 因此分别存在 $x_1\in(0,\xi)$ 和 $x_2\in(\xi,1)$, 使得

\[
\begin{aligned}
f'(x_1)&=\frac{f(\xi)-f(0)}{\xi-0}=\frac{1}{\xi},\\
f'(x_2)&=\frac{f(1)-f(\xi)}{1-\xi}=\frac{2-1}{1-\xi}=\frac{1}{1-\xi}.
\end{aligned}
\]

因此有

\[
\frac{1}{f'(x_1)}+\frac{1}{f'(x_2)}=\dfrac{1}{\frac{1}{\xi}}+\dfrac{1}{\frac{1}{1-\xi}}=\xi+(1-\xi)=1.
\]