问题及解答

设 $f,g$ 都是 $[a,b]$ 上的连续函数, 证明存在 $\xi\in[a,b]$, 使得

\[
g(\xi)\int_a^{\xi}f(x)\mathrm{d}x=f(\xi)\int_{\xi}^{b}g(x)\mathrm{d}x.
\]

令

\[
F(x)=\int_a^x f(t)dt\cdot\int_x^b g(t)dt,
\]
 

则 $F(x)$ 是 $[a,b]$ 上的连续函数, 且在 $(a,b)$ 上可导. 并且 $F(a)=F(b)=0$.

\[
F'(x)=f(x)\int_x^b g(t)dt-g(x)\int_a^x f(t)dt,
\]

因此根据 Rolle 中值定理, 存在 $\xi\in(a,b)$ 使得 $F'(\xi)=0$, 即

\[
f(\xi)\int_{\xi}^b g(t)dt-g(\xi)\int_a^{\xi} f(t)dt.
\]

改写为

\[
f(\xi)\int_{\xi}^b g(x)dx=g(\xi)\int_a^{\xi} f(x)dx.
\]