问题及解答

求解同余方程组

\[
\begin{cases}
x\equiv 3\pmod 5,\quad(1)\\
x\equiv 1\pmod {21}.\quad(2)
\end{cases}
\]

由于 $5$ 和 $21$ 互素, （满足 $D(5,21) | (3-1)$） 故此同余方程组一定有解.

根据 (1) , 设 $x=3+5t$, 将其代入 (2) , 得:

\[
3+5t\equiv 1\pmod {21},
\]

此推出 $5t\equiv -2\equiv 19\pmod {21}$. 求得一个特解 $t_0=8$. 于是 $x_0=3+5t_0=43$.

于是 $x\equiv 43\pmod {5\times 21}$, 即 $x\equiv 43\pmod {105}$.