问题及解答

设数列 $\{x_n\}_{n=1}^\infty$ 满足递推关系

\[ x_n=\frac{1}{2}(x_{n-1}+\frac{3}{x_{n-1}}),\quad n=1,2,\ldots, \] 给定初值 $x_0>0$. 证明 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=\sqrt{3}$.

根据递推关系, 容易证明

• $x_0>0\Rightarrow x_n>0$;
• $x_n\geqslant\sqrt{3}$;
• $x_n\geqslant x_{n+1}$.

从而 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=\sqrt{3}$. 这给出了计算 $\sqrt{3}$ 的一个算法.