问题及解答

证明

\[
\sum_{p}\{\ln(\frac{1}{1-\frac{1}{p}})-\frac{1}{p}\}
\]

收敛.

References:

G. 特伦鲍姆 (Gérald Tenenbaum) 著  《解析与概率数论导引》  定理 1.9, P.17  

相关问题

问题 1705

我们证明

\[
\ln(\frac{1}{1-\frac{1}{p}})-\frac{1}{p} < \frac{1}{p(p-1)}.
\]

从而级数收敛.

事实上, 由于 $\frac{1}{p(p-1)}=\frac{1}{p-1}-\frac{1}{p}$, 故上面的不等式等价于

\[
\ln\frac{p}{p-1} < \frac{1}{p-1}.
\]

我们将其改写为

\[
\ln(1+\frac{1}{p-1}) < \frac{1}{p-1}.
\]

因此成立. 故得证.