问题及解答

某工厂生产甲、乙两种产品，生产每件产品需要原材料、能源消耗、劳动力及所获利润如下表所示：

现有库存原材料1400千克；
能源消耗总额不超过2400百元；
全厂劳动力满员为2000人。

试安排生产任务（生产甲、乙产品各多少件），使利润最大，并求出最大利润。

设生产甲、乙产品的数量分别是 $x$ 件和 $y$ 件.

则目标函数（利润）为

\[
R(x,y)=4x+5y.
\]

约束条件是:

\[
\begin{cases}
2x+3y&\leqslant 1400,\\
x+6y&\leqslant 2400,\\
4x+2y&\leqslant 2000,\\
x, y\ &\text{是非负整数}.
\end{cases}
\]

这里蓝色部分是 $x,y$ 的可行域（即定义域）, 先假设它们是实数. 由 $x$ 轴, $y$ 轴和三条直线

\[
\begin{aligned}
L_1: & 2x+3y=1400,\\
L_2: & x+6y=2400,\\
L_3: & 4x+2y=2000.
\end{aligned}
\]

围成.

容易计算 $L_1$ 与 $L_3$ 的交点 $P=(400,200)$

\[
\begin{cases}
2x+3y=1400\\
2x+y=1000
\end{cases}\Rightarrow
\begin{cases}
x=400\\
y=200
\end{cases}
\]

$L_1$ 与 $L_2$ 的交点 $Q=(\frac{400}{3},\frac{3400}{9})\approx(133.33, 377.78)$

\[
\begin{cases}
2x+3y=1400\\
x+6y=2400
\end{cases}\Rightarrow
\begin{cases}
x=\frac{400}{3}\\
y=\frac{3400}{9}
\end{cases}
\]

注意到直线 $L: 4x+5y=m$ 的斜率为 $-\frac{4}{5}$, 介于 $k_{L_3}=-2$ 与 $k_{L_1}$ 之间 ($-2 < -\frac{4}{5} < -\frac{2}{3}$). 因此 $L$ 当经过点 $P$ 时位置如图所示.

我们还需要计算直线经过点 $P$ 或 $Q$ 时 $m$ 的值.

\[
4\times 400+5\times 200=2600 > 4\times 133.33+5*377.78=2422.22
\]

因此 $R(x,y)$ 在点 $P$ 处达到最大. 这里 $P$ 的坐标正好都是整数, 因此最大利润在点 $P$ 取得, 最大利润为 2600(千元), 即 2,600,000元.