问题及解答

[Thm](Nair,1982) 对于 $n\geqslant 7$, 有 $d_n\geqslant 2^n$.

 

 

这里 $d_n$ 是指 $1,2,3,\ldots,n$ 的最小公倍数. (参见问题1975)

Nair 的主要思想是考虑积分

\[
I(m,n)=\int_0^1 x^{m-1}(1-x)^{n-m}dx\quad(1\leqslant m\leqslant n)
\]

注意到

\[
(1-x)^{n-m}=\sum_{k=0}^{n-m}\binom{n-m}{k}1^k\cdot(-x)^{n-m-k},
\]

因此,

\[
\begin{split}
I(m,n)&=\int_0^1 \sum_{k=0}^{n-m}\binom{n-m}{k}x^{m-1}(-1)^{n-m-k}x^{n-m-k}dx\\
&=\int_0^1 \sum_{k=0}^{n-m}\binom{n-m}{k}(-1)^{n-m-k}x^{n-k-1}dx\\
&=\sum_{k=0}^{n-m}(-1)^{n-m-k}\binom{n-m}{k}\int_0^1 x^{n-k-1}dx\\
&=\sum_{k=0}^{n-m}(-1)^{n-m-k}\binom{n-m}{k}\cdot\frac{1}{n-k},
\end{split}
\]

令 $j=n-m-k$, 则 $n-k=m+j$, $k=n-m-j$, 于是

\[
I(m,n)=\sum_{0\leqslant j\leqslant n-m}(-1)^j \binom{n-m}{j}\frac{1}{m+j}\quad\in\frac{1}{d_n}\mathbb{Z}.
\]

也就是 $I(m,n)$ 如果进行通分, 则分母整除 $d_n$.

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另一方面, 对任意的 $y\in[0,1]$, 有

\[
\sum_{1\leqslant m\leqslant n}\binom{n-1}{m-1}y^{m-1} I(m,n)=\int_0^1 (1-x+xy)^{n-1}dx=\frac{1}{n}\sum_{1\leqslant m\leqslant n}y^{m-1}.
\]

验证如下:

\[
\begin{split}
\sum_{1\leqslant m\leqslant n}\binom{n-1}{m-1}y^{m-1} I(m,n)&=\sum_{1\leqslant m\leqslant n}\binom{n-1}{m-1}y^{m-1}\int_0^1 x^{m-1}(1-x)^{n-m}dx\\
&=\sum_{1\leqslant m\leqslant n}\binom{n-1}{m-1}\int_0^1 (xy)^{m-1}(1-x)^{n-m}dx\\
&=\int_0^1 \sum_{1\leqslant m\leqslant n}\binom{n-1}{m-1}(xy)^{m-1}(1-x)^{n-m}dx\\
&=\int_0^1 (xy+1-x)^{n-1}dx,
\end{split}
\]

设 $y\in[0,1)$, 令 $t=xy+1-x$, 则 $t=(y-1)x+1$, 从而 $dt=(y-1)dx$, 于是上面等于

\[
\int_1^y t^{n-1}\cdot\frac{1}{y-1}dt=\frac{1}{y-1}\int_1^y t^{n-1}dt=\frac{1}{y-1}\cdot\frac{1}{n}t^n \biggr|_1^y=\frac{1}{n}\frac{y^n -1}{y-1}=\frac{1}{n}\sum_{1\leqslant m\leqslant n}y^{m-1}.
\]

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从而

\[
I(m,n)=\frac{1}{n\binom{n-1}{m-1}}=\frac{1}{m\binom{n}{m}},\quad (1\leqslant m\leqslant n).
\]

这说明对 $1\leqslant m\leqslant n$ 有 $m\binom{n}{m}|d_n$, 这样

\[
n\binom{2n}{n}\biggr| d_{2n}\biggr| d_{2n+1},\quad\text{且}\quad (2n+1)\binom{2n}{n}=(n+1)\binom{2n+1}{n}=(n+1)\binom{2n+1}{n+1}\biggr| d_{2n+1}.
\]

由于 $n$ 和 $2n+1$ 互素, 得

\[
n(2n+1)\binom{2n}{n}\biggr| d_{2n+1}.
\]

最后, 因为 $\binom{2n}{n}$ 是 $(1+1)^{2n}$ 展开式的 $2n+1$ 个二项式系数中最大的一项, 所以

\[
d_{2n+1}\geqslant n(2n+1)\binom{2n}{n} >n(1+1)^{2n}=n4^n,\quad (n\geqslant 1),
\]

从而

\[
d_{2n+1}\geqslant 2\cdot 4^n=2^{2n+1},\quad (n\geqslant 2),
\]

当 $n\geqslant 4$ 时, 有

\[
d_{2n+2}\geqslant d_{2n+1}\geqslant 4^{n+1},\quad (n\geqslant 4),
\]

这对于 $n\geqslant 9$ 证明了结论中的不等式 $d_n\geqslant 2^n$. 容易验证, 对于 $n=7$ 和 $n=8$ 不等式仍然成立: $d_7=420$, $d_8=840$.

 

Note: $d_1=1$, $d_2=2$, $d_3=6$, $d_4=12$, $d_5=60$, $d_6=60$, $d_7=420$, $d_8=840$, $d_9=2520$.

参见 A003418

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References:

G. 特伦鲍姆(Gérald Tenenbaum) 著, 《解析与概率数论导引》,  陈华一  译.