问题及解答

证明 $\pi(n)\geqslant\frac{\ln d_n}{\ln n}$, $(n\geqslant 2)$. 这里 $d_n$ 表示 $1,2,\ldots,n$ 的最小公倍数.

若 $p^{\nu}\|d_n$, 则存在 $m\leqslant n$ 使得 $p^{\nu}|m$. 所以 $p^{\nu}\leqslant n$, 且

\[
d_n=\prod_{p\leqslant n, p^{\nu}\|d_n}p^{\nu}\leqslant\prod_{p\leqslant n}n=n^{\pi(n)},
\]

两边取对数, 得 $\log_n d_n\leqslant \pi(n)$, 即

\[
\pi(n)\geqslant\frac{\ln d_n}{\ln n}.
\]

Remark:

这里 $p^{\nu}\|d_n$ 表示 $p^{\nu}|d_n$ 且 $p^{\nu+1}\not|d_n$.