问题及解答

证明 $p_n\leqslant 2^{2^n}$.

[Hint] 利用 $p_{n+1}\leqslant 1+\prod_{1\leqslant j\leqslant n}p_j$, 而这是显然的.

使用归纳法证明.

$p_1=2 < 2^{2^1}=4$, $p_2=3 < 2^{2^2}=16$. 命题都成立.

现在假设命题对于 $k=1,2,\ldots,n$ 都成立, 即 $p_j < 2^{2^j}$, $\forall\ j=1,2,\ldots,n$.

于是

\[
\begin{split}
p_{n+1}&\leqslant 1+\prod_{j=1}^{n}p_j\\
& < 1+\prod_{j=1}^{n}2^{2^j}\\
&=1+2^{\sum_{j=1}^{n}2^j}\\
&=1+2^{2^{n+1}-2}\\
&< 2^{2^{n+1}}.
\end{split}
\]