问题及解答

设 $x_1 > 0$, $x_{n+1}=\ln(x_n+1)$. 求

(1) $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n$;

(2) $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{x_n\cdot x_{n+1}}{x_n-x_{n+1}}$.

考虑函数 $y=x-\ln(1+x)$, $x\in[0,+\infty)$. 则 $y(0)=0$, 且

\[
y'(x)=1-\frac{1}{1+x}=\frac{x}{1+x} > 0,\quad\forall\ x > 0.
\]

因此 $y(x) > y(0)$, 对任意 $x > 0$. 因此有 $x > \ln(1+x)$, $\forall\ x\in(0,+\infty)$.

由于 $x_1 > 0$, 于是 $0 < x_{n+1}=\ln(x_n+1) < x_{n}$, 因此数列 $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ 是单调递减有下界, 故存在极限, 设 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=a$.

对方程 $x_{n+1}=\ln(x_n+1)$ 两边取极限, 得 $a=\ln(a+1)$, 可得唯一解 $a=0$. 即有 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=0$.