问题及解答

求极限

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}}{\ln n}
\]

记 $c_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}-\ln n$, 可以证明 $\{c_n\}_{n=1}^{+\infty}$ 是单调递减数列, 且显然有下界 $0$. 因此有极限. 这个极限就是所谓的 Euler 常数, 我们记之为 $\gamma$.

因此

\[
\begin{split}
&\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}}{\ln n}\\
=&\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{c_n+\ln n}{\ln n}\\
=&\lim_{n\rightarrow\infty}(\frac{c_n}{\ln n}+1)\\
=&1.
\end{split}
\]

(法二) 使用 Stolz 公式

记 $x_n=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i}$, $y_n=\ln n$. 于是 $y_n$ 严格单调递增趋于 $+\infty$, 因此根据 Stolz 公式之一, 得

\[
\begin{split}
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{x_n}{y_n}&=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\frac{1}{n}}{\ln n-\ln(n-1)}\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n\ln(1+\frac{1}{n-1})}\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\ln(1+\frac{1}{n-1})^n}\\
&=1.
\end{split}
\]