问题及解答

甲乙丙丁四个人, 两两年龄相加按大小排列依次是 99, 113, 125, 130, 144. 请问剩余一个数是多少, 其中年龄大的是几岁?

不妨设这四个人的年龄按大小排是 $a < b < c < d$. 则两两相加有六个数, 分别为 $a+b, a+c, b+c, a+d, b+d, c+d$. 大小关系如下:

\[
\begin{aligned}
a+b < a+c < b+c < b+d < c+d,\\
a+b < a+c < a+d < b+d < c+d.\\
\end{aligned}
\]

这里所给的数据, 据观察有这样的关系 $113-99=14=144-130$. 而上面这六个数中类似的关系为

\[
(a+c)-(a+b)=c-b=(c+d)-(b+d)
\]

因此 $c-b=14$. 也就是我们有方程组

\[
\begin{cases}
a+b=99,\\
a+c=113,\\
b+d=130,\\
c+d=144.\\
\end{cases}
\]

因此, $(a,b,c,d)=(99-b,b,b+14,d)$. 剩下要比较 $b+c=2b+14$ 和 $a+d=99-b+d$. 根据题设, 只可能 $99-b+d=125$, (因为 $b+c=2b+14$ 是偶数.)

于是 $d=b+26$. 又 $b+d=130$, 故得 $b=52$, $d=78$. 从而 $a=47$, $c=66$.

这四人的年龄从小到大排列是 $47, 52, 66, 78$. 因此剩余一个数是 $b+c=118$, 其中年龄大的那位是 $66$ 岁.