问题及解答

诗歌讲座持续了 2 小时 $m$ 分钟, 结束时钟表的时针和分针的位置刚好跟开始的位置对调. 若用 $[x]$ 表示 $x$ 的整数部分, 则 $m$ 是多少?

设诗歌讲座开始于 $x$ 时 $y$ 分 (记为 $x:y$). 这里 $0\leqslant x\leqslant 23$, $0\leqslant y < 60$. $x$ 是整数, $y$ 可以是小数.

经过 2 小时 $m$ 分钟, 讲座结束于 $(x+2):(y+m)$. 由于结束时时针和分钟的位置刚好和开始的位置对调, 因此必有 $y+m\geqslant 60$. 故讲座结束于 $(x+3):(y+m-60)$.

于是, 我们有方程

\[
\begin{cases}
\Bigl[\frac{y+m-60}{5}\Bigr]=x,\\
\Bigl[\frac{y}{5}\Bigr]=x+3.
\end{cases}
\]

于是可设

\[
\begin{cases}
\frac{y+m-60}{5}=x+r_1,\quad 0\leqslant r_1 < 1,\\
\frac{y}{5}=x+3+r_2,\quad 0\leqslant r_2 < 1.\\
\end{cases}
\]

两式相减, 可得

\[
m=45+5(r_1-r_2).
\]

注意到 $r_1-r_2\in(-1,1)$, 故 $m\in(40,50)$.

这里还需注意钟表时针和分针的转动问题, 时针走1一个小时(15°), 分针走一圈(360°), 我们有比例关系

\[
\frac{\frac{y+m-60}{5}-\Bigl[\frac{y+m-60}{5}\Bigr]}{5}=\frac{y}{60}.
\]

由于钟表上各点地位是平等的, 因此不妨设 $x=0$, 也即 $\Bigl[\frac{y+m-60}{5}\Bigr]=0$, 于是得

\[
\frac{y+m-60}{5}=\frac{y}{12},
\]

这推出 $7y+12m=720$. 易知 $15 < y < 20$, $40 < m < 50$. 

如果假设 $y,m$ 是整数, 则 $7y=12(60-m)$. 推出 $7|(60-m)$, 由于 $40 < m < 50$, 故 $m=46$, $y=24$.

因此 $[m]=46$.

从分针和时针转的角度分析会更简单. 分针每分钟走过 6°, 时针每小时走过 30°. （这里我们按顺时针计算角度.）

设起始时刻为 $x$ 时 $y$ 分. 则起始角度

    时针角度:   $30x+\frac{y}{60}\cdot 30=30x+0.5y$
    分针角度:  $6y$

结束时的角度:

    时针角度:   $30x+0.5y+60+0.5m$
    分针角度:  $6y+6m$

于是, 根据位置对调的假设, 我们有

\[
\begin{cases}
30x+0.5y=6y+6m,\\
30x+0.5y+60+0.5m=6y.
\end{cases}
\]

显然这推出 $6y+6m < 6y$, 矛盾. 因此结束时分钟角度应该是 $6y+6m-360$. 即方程应为

\[
\begin{cases}
30x+0.5y=6y+6m-360,\quad(1)\\
30x+0.5y+60+0.5m=6y.\quad(2)\\
\end{cases}
\]

(2)-(1), 得

\[
60+0.5m=360-6m,
\]

推出 $m=\frac{300}{6.5}=\frac{600}{13}$, 因此 $[m]=46$.

Remark:

This solution is provided by my friend David Chen.