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问题及解答

The radical of an ideal

Posted by haifeng on 2017-03-30 14:39:12 last update 2017-03-30 18:47:48 | Edit | Answers (1)

设 $A$ 是一个环, 考虑 $X\subset A$. 定义 $X$ 的(关于 $A$ 的)根(radical) 是

\[
r(X)=\{z\in A\mid z^n\in X,\ \exists\ n\geqslant 1\}.
\]

也就是说, $r(X)$ 是由 $X$ 中元素的所有 $n$ 次根组成, 这里 $n\geqslant 1$. 易见 $X\subset r(X)$.

 

显然

\[
r(\cup_{\alpha}X_{\alpha})=\cup_{\alpha}r(X_{\alpha})
\]

 

References:

http://www.maths.usyd.edu.au/u/de/AGR/CommutativeAlgebra/pp209-223.pdf

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Posted by haifeng on 2017-03-30 17:50:57

(1) 设 $z\in r(\cup_{\alpha}X_{\alpha})$, 则存在 $n\in\mathbb{Z}^+$, 使得 $z^n\in\cup_{\alpha}X_{\alpha}$.

于是存在某个 $\alpha_0$, 使得 $z^n\in X_{\alpha_0}$. 因此 $z\in r(X_{\alpha_0})$, 也即有 $z\in\cup_{\alpha}r(X_{\alpha})$.

 

(2) 另一方面, 设 $z\in\cup_{\alpha}r(X_{\alpha})$, 即存在 $\alpha_0$, 使得 $z\in r(X_{\alpha_0})$. 即 $z^n\in X_{\alpha_0}\subset\cup_{\alpha}X_{\alpha}$. 因此 $z\in r(\cup_{\alpha}X_{\alpha})$.