问题及解答

证明恒等式

\[
\begin{vmatrix}
a & -b\\
b_1 & a_1\\
\end{vmatrix}\cdot
\begin{vmatrix}
c & -d\\
d_1 & c_1\\
\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
ac+bd & -(a_1 d-b_1 c)\\
ad_1-b c_1 & a_1 c_1+b_1 d_1\\
\end{vmatrix}
\]

[Hint] 直接展开验证即可.

Remark:

(1) 若 $a,b,c,d\in\mathbb{C}$, $a_1=\bar{a}$, $b_1=\bar{b}$, $c_1=\bar{c}$, $d_1=\bar{d}$, 则相应的恒等式为

\[
\begin{vmatrix}
a & -b\\
\bar{b} & \bar{a}\\
\end{vmatrix}\cdot
\begin{vmatrix}
c & -d\\
\bar{d} & \bar{c}\\
\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
ac+bd & -(\bar{a}d-\bar{b}c)\\
a\bar{d}-b\bar{c} & \overline{ac+bd}\\
\end{vmatrix}
\]

(2) 此恒等式用于证明任何一个正整数都可以表为四个数的平方和.