问题及解答

求方程

\[a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=abcde\tag{*}\]

的正整数解. 这里不妨设 $a\leqslant b\leqslant c\leqslant d\leqslant e$.

(1) 若 $a,b,c,d,e$ 是方程 $(*)$ 的解, 容易验证 $b,c,d,e,bcde-a$ 也是方程 $(*)$ 的解. 从而可以构造无穷多组解.

(1) 若要求 $a < b < c < d < e$, 则对于 $[1,100]$ 之内的整数已经验证, 此方程无解.

猜测方程(*) 在此条件( $a < b < c < d < e$)下, 在 $\mathbb{Z}^{+}$ 上无解.

特别的, 我们能否证明

Prop. 若 $2+c^2+d^2+e^2=cde$, 则必有 $9|cde$.

Prop. 若 $a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=abcde$, 则一定有两个数相等, 且存在两个数都是 3 的倍数, 从而有 $9|abcde$.

(1) 设 $a,b,c,d,e$ 是方程 $(*)$ 的解, 则

\[
\begin{split}
&b^2+c^2+d^2+e^2+(bcde-a)^2\\
=&b^2+c^2+d^2+e^2+(bcde)^2-2abcde+a^2\\
=&(bcde)^2-abcde\\
=&bcde(bcde-a),
\end{split}
\]

故 $b,c,d,e,(bcde-a)$ 也是解.

这里注意到, 如果 $d\geqslant 2$, 则可推出 $bcde-a\geqslant e$.