求极限
\[\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\sin(\sin(\cdots(\sin x)))\]
($n$ 次复合函数).
若记 $a_1=\sin x$, $a_n=\sin(a_{n-1})$. 即 $a_n=\sin(\sin(\cdots(\sin x)))$, ($n$ 次复合函数). 则证明
\[
\prod_{n=1}^{\infty}\cos a_n
\]
发散.
若记 $d_n=a_n-a_{n+1}$, 则可以证明:
Claim 1. $\{d_n\}$ 严格递减趋于 0.
Claim 2. $\frac{1}{2}d_{n+1} < \sin\frac{d_n}{2}$.
Claim 3. $d_n < \sin d_{n-1}$.
Claim 4. $\frac{d_{n+1}}{d_n} < \cos\frac{d_n}{2}$
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记 $a_1=\sin x$, $a_2=\sin(\sin x)$, $\ldots$, $a_n=\sin(\sin(\cdots(\sin x)))$ ($n$ 次复合)
即 $a_n=\sin a_{n-1}$.
若 $x=0$, 则 $a_1=0$, $a_n=0$, 对所有 $n$. 由于 $a_1\leqslant 1$, 故不妨先设 $x\in(0,\frac{\pi}{2})$.
于是 $a_n=\sin a_{n-1} < a_{n-1}$, 对任意 $n$. 又 $a_n$ 有下界 $0$, 故有极限.
若 $x\in(-\frac{\pi}{2},0)$, 则 $a_1 < 0$. $a_n=-\sin(\sin(\cdots(\sin|x|)))$ ($n$ 次复合). 得 $\{a_n\}$ 严格递增且有上界 $0$. 故有极限.
不妨只考虑 $x\in(0,\frac{\pi}{2})$ 的情形, $x\in(-\frac{\pi}{2},0)$ 可以类似的讨论.
假设 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=a > 0$. 则由于 $y=\sin x$ 是连续函数, 故
\[
\sin a=(\sin \lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sin a_n=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}=a
\]
这与 $a > 0$ 矛盾. 故 $a=0$.
因此 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sin(\sin(\cdots(\sin x)))=0$.