记 $S_{2n}=\{1,2,\ldots,2n\}$. 任取 $A\subset S_{2n}$, $|A|=n+2$.
使用归纳法。当 $n=2,3$ 时容易验证.
假设 $n\leqslant k$ 时命题成立. 然后考虑 $n=k+1$ 的情况.
此时 $S_{2(k+1)}=S_{2k}\cup\{2k+1,2k+2\}$. 任取 $A\subset S_{2k+2}$. 我们分三种情况,
(1) $A\subset S_{2k}$, 由于 $|A|=k+3 > k+2$, 根据归纳假设, 命题成立.
(2) $B:=A-\{2k+1\}\subset S_{2k}$ 或 $B:=A-\{2k+2\}\subset S_{2k}$. 此时 $|B|=k+2$, 于是又归纳假设, 命题成立.
(3) $B:=A-\{2k+1,2k+2\}\subset S_{2k}$, 此时 $|B|=k+1$. 但是 $A$ 含有 $2k+1, 2k+2$.
我们对于 (3) 进行讨论:
对于此时的 $B$, 它有 $k+1$ 个元素, 我们考虑 $S_{2(k-1)}$. 如果 $B\subset S_{2(k-1)}$, 则根据归纳假设, 在 $B$ 中存在 $x,y$, 使得 $x+y\in B$.
如果 $B-\{2k-1\}\subset S_{2(k-1)}$