问题及解答

$n$ 阶 Bessel 微分方程是指

\[
x^2\frac{d^2 y}{dx^2}+x\frac{dy}{dx}+(x^2-n^2)y=0.
\]

这是一个二阶齐次线性微分方程.(两边除以 $x^2$, 可以化为 $y''+p(t)y'+q(t)y=0$.)

它的一般解可以表示为两个基本解的线性组合.

 

这个方程的解被称为阶为 $n$ 的第一类 Bessel 函数, 记为 $J_n(x)$. 关于 $J_n(x)$ 没有简单的表达式. $J_n(x)$ 的两个定义, 一个是无穷级数; 另一个是无穷积分, 其反导数(anti-derivative)不存在.

\[
J_n(x)=\sum_{m=0}^{\infty}(-1)^m \frac{(x/2)^{n+2m}}{m!(n+m)!}\quad\text{和}\quad J_n(x)=\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi}\cos\bigl[n\theta-x\sin\theta\bigr]d\theta
\]

例如,

\[
J_n(0)=\begin{cases}
1, & n = 0,\\
0, & n > 0.
\end{cases}
\]

---

Bessel 函数也可以定义为满足如下递推关系的函数 $Z_n(x)$:

\[
\begin{cases}
Z_{n+1}+Z_{n-1}&=\frac{2n}{x}Z_n,\\
Z_{n+1}-Z_{n-1}&=-2\frac{dZ_n}{dx}.\\
\end{cases}
\]

---

根据 $J_n(x)$ 的这个级数表示,

\[
J_n(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}(\frac{x}{2})^{2k+n},
\]

可以得到关于 $J_n(x)$ 的下标平移公式:

\[
\begin{aligned}
\frac{d}{dx}\bigl[x^{-n}J_n(x)\bigr]&=-x^{-n}J_{n+1}(x),\\
\frac{d}{dx}\bigl[x^n J_n(x)\bigr]&=x^n J_{n-1}(x).
\end{aligned}
\]

(证明参见Answer链接.)

例如, $J'_0(x)=-J_1(x)$.

这两个公式表明 $J_n(x)$ 是振荡的: 第一个平移公式指出 $\frac{d}{dx}[x^{-n}J_n(x)]$ 在 $x^{-n}J_{n+1}(x)$ 的两个相邻零点之间取值为零. 也就是说, $J_n, J_{n+1}$ 的零点是彼此间隔的. (见下图)

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$J_n(x)$ 的图像:

 

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当 $x$ 增加时, $J_n(x)$ 变得越来越接近 $\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\cos[x-\frac{\pi}{4}(1+2n)]$, 也即跟带有与$n$有关的相位移, 衰变如 $\frac{1}{\sqrt{x}}$ 那样的振幅的 cosine 函数非常像. 我们将此写为

\[
J_n(x)\ \sim\ \sqrt{\frac{2}{\pi x}}\cos[x-\frac{\pi}{4}(1+2n)],\quad\text{当}\ x\rightarrow\infty.
\]

类似地, 

\[
Y_n(x)\ \sim\ \sqrt{\frac{2}{\pi x}}\sin[x-\frac{\pi}{4}(1+2n)],\quad\text{当}\ x\rightarrow\infty.
\]

 

 

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修改过的 Bessel 微分方程是指

\[
x^2\frac{d^2 y}{dx^2}+x\frac{dy}{dx}-(x^2+n^2)y=0.
\]

这个方程的解被称为 modified Bessel functions of the first kind and second kinds. 可以写为

\[
\begin{split}
y&=a_1 J_n(-ix)+a_2 Y_n(-ix)\\
&=c_1 I_n(x)+c_2 K_n(x),
\end{split}
\]

其中 $J_n(x)$ 是第一类 Bessel 函数, $Y_n(x)$ 是第二类 Bessel 函数.

$I_n(x)$ 是修改后的第一类 Bessel 函数(modified Bessel of the first kind),

$K_n(x)$ 是修改后的第二类 Bessel 函数(modified Bessel of the second kind).

若 $n=0$, 则修改后的 Bessel 微分方程变为

\[
x^2\frac{d^2 y}{dx^2}+x\frac{dy}{dx}-x^2 y=0,
\]

也可以写为

\[
\frac{d}{dx}\biggl(x\frac{dy}{dx}\biggr)=xy.
\]

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第二类修改后的 Bessel 函数有时也称为 Basset 函数, 或 modified Bessel functions of the third kind (Spanier and Oldham 1987, p.499), 或 Macdonald 函数 (Spanier and Oldham 1987, p.499; Samko et al. 1993, p.20). 第二类修改后的 Bessel 函数在 Wolfram 语言中补充为 BesselK[nu, z].

$K_n(x)$ 与第一类修改后的 Bessel 函数 $I_n(x)$ 以及 Hankel 函数 $H_n(x)$ 有密切联系.

\[
\begin{split}
K_n(x)&\equiv\frac{1}{2}\pi i^{n+1} H_n^{(1)}(ix)\\
&=\frac{1}{2}\pi i^{n+1}\Bigl[J_n(ix)+iN_n(ix)\Bigr]\\
&=\frac{\pi}{2}\frac{I_{-n}(x)-I_n(x)}{\sin(n\pi)}
\end{split}
\]

(Watson 1966, p.185). 关于 $K_n(x)$ 的一个求和公式是

 

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References:

http://curvebank.calstatela.edu/bessel/bessel.htm

http://mathworld.wolfram.com/BesselFunction.html

http://mathworld.wolfram.com/ModifiedBesselDifferentialEquation.html

http://mathworld.wolfram.com/ModifiedBesselFunctionoftheSecondKind.html

http://www.math.umbc.edu/~jbell/pde_notes/F_Intro%20to%20Bessel%20Functions.pdf

 

 

 

 

我们证明 $(x^{-n}J_n(x))'=-x^{-n}J_{n+1}(x)$.

首先 $(x^{-n}J_n(x))'=-nx^{-n-1}J_n(x)+x^{-n}J'_n(x)$.

$J_n(x)$ 在收敛域内可以逐项求导,

\[
J'_n(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}(2k+n)\cdot(\frac{x}{2})^{2k+n-1}\cdot\frac{1}{2}.
\]

因此

\[
\begin{split}
(x^{-n}J_n(x))'&=-nx^{-n-1}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}(\frac{x}{2})^{2k+n}+x^{-n}\cdot\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}(2k+n)\cdot(\frac{x}{2})^{2k+n-1}\cdot\frac{1}{2}\\
&=-x^{-n}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\cdot(\frac{x}{2})^{2k+n-1}\biggl[\frac{n}{x}\cdot\frac{x}{2}-\frac{1}{2}\cdot(2k+n)\biggr]\\
&=-x^{-n}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\cdot(\frac{x}{2})^{2k+n-1}(-k)\\
&=-x^{-n}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{(k-1)!(n+k)!}\cdot(\frac{x}{2})^{2k+n-1}\\
&=-x^{-n}\sum_{h=0}^{\infty}\frac{(-1)^{h}}{h!(n+h+1)!}\cdot(\frac{x}{2})^{2h+n+1}\\
&=-x^{-n}J_{n+1}(x).
\end{split}
\]

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我们证明 $(x^{n}J_n(x))'=x^{n}J_{n-1}(x)$.

首先 $(x^{n}J_n(x))'=nx^{n-1}J_n(x)+x^{n}J'_n(x)$.

$J_n(x)$ 在收敛域内可以逐项求导,

\[
J'_n(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}(2k+n)\cdot(\frac{x}{2})^{2k+n-1}\cdot\frac{1}{2}.
\]

因此

\[
\begin{split}
(x^{n}J_n(x))'&=nx^{n-1}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}(\frac{x}{2})^{2k+n}+x^{n}\cdot\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}(2k+n)\cdot(\frac{x}{2})^{2k+n-1}\cdot\frac{1}{2}\\
&=x^{n}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\cdot(\frac{x}{2})^{2k+n-1}\biggl[\frac{n}{x}\cdot\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\cdot(2k+n)\biggr]\\
&=x^{n}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\cdot(\frac{x}{2})^{2k+n-1}(n+k)\\
&=x^{n}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(n+k-1)!}\cdot(\frac{x}{2})^{2k+n-1}\\
&=x^{n}J_{n-1}(x).
\end{split}
\]

[Frobenius 方法]

对于 Bessel 方程 

\[
x^2 y''+xy'+(x^2-p^2)y=0,
\]

这里 $p$ 是整数. 我们不妨假设 $y=\sum_{m=0}^{\infty}a_m x^{r+m}$, $a_0\neq 0$. 于是

\[
y'=\sum_{m=0}^{\infty}a_m\cdot(r+m) x^{r+m-1},\quad y''=\sum_{m=0}^{\infty}a_m\cdot(r+m)(r+m-1) x^{r+m-2}.
\]

将它们代入 Bessel 方程, 得

\[
\begin{split}
0&=x^2\sum_{m=0}^{\infty}a_m\cdot(r+m)(r+m-1) x^{r+m-2}+x\sum_{m=0}^{\infty}a_m\cdot(r+m) x^{r+m-1}+(x^2-p^2)\sum_{m=0}^{\infty}a_m x^{r+m}\\
&=\sum_{m=0}^{\infty}a_m\cdot(r+m)(r+m-1) x^{r+m}+\sum_{m=0}^{\infty}a_m\cdot(r+m) x^{r+m}+\sum_{m=0}^{\infty}a_m\cdot(x^2-p^2)x^{r+m}\\
&=\sum_{m=0}^{\infty}\biggl[a_m\cdot(r+m)(r+m-1)+a_m\cdot(r+m)+a_m\cdot(x^2-p^2)\biggr]x^{r+m}\\
&=\sum_{m=0}^{\infty}\biggl[a_m\Bigl((r+m)^2-p^2\Bigr)\biggr]x^{r+m}+\sum_{m=0}^{\infty}a_m x^{r+m+2}\\
&=a_0(r^2-p^2)x^r+a_1\bigl((r+1)^2-p^2\bigr)x^{r+1}+\sum_{m=2}^{\infty}\biggl[a_m\Bigl((r+m)^2-p^2\Bigr)\biggr]x^{r+m}+\sum_{h=2}^{\infty}a_{h-2} x^{r+h}\\
&=a_0(r^2-p^2)x^r+a_1\bigl((r+1)^2-p^2\bigr)x^{r+1}+\sum_{m=2}^{\infty}\biggl[a_m\Bigl((r+m)^2-p^2\Bigr)+a_{m-2}\biggr]x^{r+m}\\
\end{split}
\]

由于系数都应是零, 故

\[
\begin{cases}
a_0(r^2-p^2)=0,\\
a_1[(r+1)^2-p^2]=0,\\
a_m[(r+m)^2-p^2]+a_{m-2}=0.
\end{cases}
\]

第一式推出 $r=\pm p$, 代入第二式得 $a_1=0$. 第三式得

\[
a_m=\frac{a_{m-2}}{p^2-(r+m)^2}=\frac{-a_{m-2}}{m(m+2r)}.
\]

因此 $a_{2k-1}=0$, 对于任意 $k=1,2,3,\ldots$. 并且

\[
\begin{aligned}
a_2&=\frac{-a_0}{2(2+2r)}=\frac{-a_0}{2^2(1+r)},\\
a_4&=\frac{-a_2}{4(4+2r)}=\frac{-a_2}{2^2\cdot 2(2+r)}=\frac{a_0}{2^4\cdot 2(1+r)(2+r)},\\
a_6&=\frac{-a_4}{6(6+2r)}=\frac{-a_4}{2^2\cdot 3(3+r)}=\frac{-a_0}{2^6\cdot 3!(1+r)(2+r)(3+r)},\\
a_8&=\frac{-a_6}{8(8+2r)}=\frac{-a_6}{2^2\cdot 4(4+r)}=\frac{a_0}{2^8\cdot 4!(1+r)(2+r)(3+r)(4+r)},\\
\end{aligned}
\]

一般的, 容易证明

\[
a_{2k}=\frac{(-1)^k a_0}{2^{2k} k!(1+r)(2+r)\cdots(k+r)}.
\]

令 $r=p$, $m=2k$, 则我们有

\[
\begin{split}
y&=\sum_{m=0}^{\infty}a_m x^{r+m}=\sum_{k=0}^{\infty}a_{2k}x^{2k+p}\\
&=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k a_0}{2^{2k} k!(1+p)(2+p)\cdots(k+p)}x^{2k+p}\\
&=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k 2^p a_0}{k!(1+p)(2+p)\cdots(k+p)}(\frac{x}{2})^{2k+p}.\\
\end{split}
\]

$a_0$ 的标准选取涉及到所谓的 Gamma 函数 (参见问题1832).

注意到

\[
\frac{1}{(1+p)(2+p)\cdots(k+p)}=\frac{\Gamma(p+1)}{\Gamma(k+p+1)}.
\]

如果我们选取 $a_0=\frac{1}{2^p \Gamma(p+1)}$, 则有

\[
y=J_p(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\Gamma(k+p+1)}(\frac{x}{2})^{2k+p}.
\]

此即 $p$-阶第一类型的 Bessel 函数.

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References:

R. C. Daileda, An Introduction to Bessel Functions, Slide, March 25, 2014. [pdf]