问题及解答

设 $A,B,C,D$ 是 $n$ 阶方阵, $A$ 可逆. $AC=CA$, $AD+CB=0$.

求 $P=\begin{pmatrix}A & B\\ C & D\end{pmatrix}$ 的秩.

\[
\begin{pmatrix}
I_n & O\\
-CA^{-1} & I_n
\end{pmatrix}\cdot
\begin{pmatrix}
A & B\\
C & D
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
A & B\\
O & D-CA^{-1}B
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
A & B\\
O & 2D
\end{pmatrix}
\]

其中最后一个等号是因为

\[
D-CA^{-1}B=A^{-1}(AD-CB)=A^{-1}(AD+AD)=2D.
\]

此处用到了条件 $AD+CB=O$ 以及 $AC=CA$, 由于 $A$ 可逆, 后者推出 $CA^{-1}=A^{-1}C$.

因此 $\text{rank}(P)=\text{rank}(A)+\text{rank}(D)$.