问题及解答

正整数 $a,b,c$ 都是两位数, 且 $a,b$ 的个位数字分别是 7 和 5. $c$ 的十位数字是 1. 如果它们满足

\[
a\times b+c=2005,
\]

求这三个数的和.

设 $a=\overline{A7}$, $b=\overline{B5}$, $c=\overline{1C}$. 这里 $A,B,C$ 取值于 $0,1,2,3,\ldots,9$. 其中 $A,B$ 都不为零.

于是由条件, 得

\[
(10A+7)(10B+5)+10+C=2005,\qquad (1)
\]

推出

\[
100AB+50A+70B+C=1960.
\]

于是 $C$ 必须是 0. 因此

\[
10AB+5A+7B=196.
\]

将 $C=0$ 代入 (1), 得

\[
(10A+7)(10B+5)=1995=3\times 5\times 7\times 19.
\]

注意到 $10B+5$ 含有因子 5. 并且 $10A+7\leqslant 97$, 故 $10B+5 > 15$. 

若 $10B+5=5\times 19=95$, 则 $10A+7=21$ 这是不可能的. 若 $10B+5=35$, 则 $10A+7=57$.

因此 $A=5$, $B=3$.

因此这三个数分别是 $a=57$, $b=35$, $c=10$. 它们的和为 102.