问题及解答

一自然数末两位数字为 17, 各位数字和为 17, 且能被 17 整除. 求满足条件的最小五位数.

用数学语言写的话, 就是设 $n$ 满足

\[
\begin{cases}
n=100m+17,\\
\text{digitSum}(n)=17,\\
n\equiv 0\pmod {17}
\end{cases}
\]

求满足条件的最小的五位数 $n$.

针对此题, 我们简洁地记 $n=\overline{abc17}$, 其中 $a,b,c$ 是取值 $0,1,2,\ldots,9$ 的数字, 当然 $a > 0$.

因此

\[
\begin{aligned}
a+b+c+1+7=17,\\
17|\overline{abc}\\
\end{aligned}
\]

即

\[
a+b+c=9, \quad 17|\overline{abc}.
\]

当然, 猜是尝试的最好办法之一. 既然要使 $n$ 最小,

不妨令 $a=1$, $b=0$ 于是 $c=8$. 而 $17\not|108$. 依次尝试 117, 126, 135, 144, 153. 发现 $153=17\times 9$ 是最小的能被 $17$ 整除的三位数.

故 $n=15317$.