问题及解答

求

\[
(1!+2!+3!+\cdots+100!)^{1!+2!+3!+\cdots+100!}
\]

的个位数字.

[Remark] 这种问题都是装的很难的样子, 其实没有太大意义.

我们只要知道 $n!$ 当 $n\geqslant 5$ 时, 乘积中就包含了 5 和 2, 因此 $n!$ 就是 10 的倍数.

由于 $n!$ 当 $n\geqslant 5$ 时就包含 5 和 2 相乘, 故是 10 的倍数.

于是 $1!+2!+3!+4!+5!+\cdots+100!$ 的末尾数字与 $1!+2!+3!+4!$ 的相同, 是 3.

于是我们就考虑 $3^m$ 的末尾数字的规律

\[
3^1=3,\quad 3^2=9,\quad 3^3=27,\quad 3^4=81,\quad 3^5=243,\quad 3^6=729,\quad 3^7=2187,\quad 3^8=6561
\] 

容易证明, $\text{lastdigit}(3^m)$ 的末尾数字以 $3,9,7,1$ 循环出现. 因此只需求 $m\mod 4$ 即可.

\[
1!+2!+3!+4!+5!+\cdots+100!\equiv 1!+2!+3!\equiv 9\equiv 1\pmod 4
\]

因此所考虑数的末尾数字是 3.