问题及解答

1. 在 1 到 2013 这些正整数中, 有多少个数乘以 48 后是完全平方数?

2. 某自然数加 10 和减 10 所得的数都是完全平方数, 求这个自然数.

3. 求能被 180 整除的最小的完全平方数.

设 $48\cdot n=m^2$, 由于 $48=3\cdot 4^2$, 故 $n=3\cdot k^2$. 因此问题归结为求下面集合

\[
\{k\mid 1\leqslant 3k^2\leqslant 2013,\quad k > 0\}
\]

所含元素的个数. 易见

\[
k\leqslant\sqrt{\frac{2013}{3}}=\sqrt{671},
\]

注意到 $25^2=625 < 671 < 676=26^2$, 因此 $k=1,2,\ldots,25$. 共 25 个. 

根据题设, 不妨设 $n-10=a^2$, $n+10=b^2$. 这里 $n,a,b$ 都是正整数.

首先注意到相邻两个正整数平方的差一定是奇数, $(m+1)^2 -m^2=2m+1$. 因此 $a$ 和 $b$ 不可能是相邻的.

一般的

\[
(m+k)^2 -m^2=2mk+k^2=k(2m+k)
\]

当 $k$ 是奇数时, 差为奇数; 当 $k$ 是偶数时, 差为偶数.

这里 $b^2-a^2=(n+10)-(n-10)=20$. 故 $k$ 是偶数. 不妨设 $k=2h$, 于是

\[
2h(2m+2h)=20\quad\Leftrightarrow\quad h(m+h)=5.
\] 

因此 $h=1$, $m=4$. 故 $n=a^2+10=m^2+10=26$.

设 $180|n^2$.

注意到 $180=2^2\cdot 3^2\cdot 5$, 所以要使得 $n$ 最小, 则 $n=2\cdot 3\cdot 5=30$.

所求的最小的完全平方数是 900.