问题及解答

设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续, 在 $(0,1)$ 内可导. 且 $f(0)=0$, $f(1)=2$.

证明: 存在 $\xi\in(0,1)$, 使得 $f'(\xi)=2f(\xi)+1$.

[Think] 需要加什么条件才能得到所要结论?

令 $A=\int_0^1 f(t)dt-\frac{1}{2}$, 且令

\[
g(x)=\int_0^x (f(t)-A)dt-\dfrac{f(x)-x}{2}.
\]

于是 $g(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续, 在 $(0,1)$ 上可微. 且 $g(0)=0$, $g(1)=0$. 于是存在 $\xi\in(0,1)$ 使得 $g'(\xi)=0$.

而

\[
g'(x)=f(x)-A-\frac{1}{2}(f'(x)-1).
\]

于是有 $f(\xi)-A-\frac{1}{2}(f'(\xi)-1)=0$. 因此, 若加上 $\int_0^1 f(x)dx=\frac{1}{2}$ 这个条件就可以推出所要结论了.

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