问题及解答

$\mathbf{R}^3$中的椭球面被平行平面所截的所有截线相似.

我们可以假设截面的方程是$z=\lambda$。那么二次曲面
\[
ax^2+bxy+cy^2+d+(a_1x+b_2y+c_1)z+a_2z^2=0
\]
的平面的截线是
\[
ax^2+bxy+cy^2+\lambda a_1x+\lambda b_1y+a_2\lambda^2+c_1\lambda+d=0
\]
对于椭球面，这个曲线是椭圆(若交点非空并且不退化为一点)。椭圆的轴的方向和它们长度的比值完全由二次部分$ax^2+bxy+cy^2$确定。