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问题及解答

$\Omega^2=\Omega_J^{+}\oplus\Omega_J^{-}$

Posted by haifeng on 2015-08-28 15:42:20 last update 2015-08-28 15:42:20 | Edit | Answers (0)

设 $(M^{2n},J)$ 是一近复流形, 近复结构 $J$ 以如下方式作用在 $\Omega^2(M)$ 上. $\Omega^2(M)$ 是 $M$ 上所有光滑 2-形式的集合.

\[
J:\ \alpha\mapsto\alpha^J,\quad \alpha^J(\cdot,\cdot):=\alpha(J\cdot,J\cdot).
\]

注意到 $J^2=-\text{id}$, 所以 $(\alpha^J)^J=\alpha$. 故而 $J$ 在 $\Omega^2(M)$ 上的作用是对合. 记

\[
\begin{aligned}
\Omega_J^{+}&:=\{\alpha\in\Omega^2(M)\mid\alpha^J=\alpha\},\\
\Omega_J^{-}&:=\{\alpha\in\Omega^2(M)\mid\alpha^J=-\alpha\}.
\end{aligned}
\]

证明: $\Omega^2=\Omega_J^{+}\oplus\Omega_J^{-}$.