问题及解答

计算柱面 $S^1\times\mathbb{R}^1$ 的各阶 de Rham 上同调群.

任取 $\omega\in Z^q(S^1\times\mathbb{R})$.

当 $q=0$ 时, $\omega$ 是光滑函数, 且 $d\omega=0$, 因此 $\omega$ 局部是常值, 由于 $S^1\times\mathbb{R}$ 是连通的, 故 $\omega=c$ ($c$ 是常数). 而 $B^0(S^1\times\mathbb{R})=\{0\}$, 故

\[
H_{\mathrm{dR}}^0(S^1\times\mathbb{R})=Z^0(S^1\times\mathbb{R})/B^0(S^1\times\mathbb{R})\cong\mathbb{R}.
\]

当 $q=1$ 时, 可设 $\omega=f(x,t)dx+g(x,t)dt$, 其中 $\{x,t\}$ 是 $S^1\times\mathbb{R}$ 上的局部坐标系.  $d\omega=0$ 等价于 $\frac{\partial g}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial t}$. 令

\[
\eta=\int_0^t g(x,s)ds,
\]

则

\[
\begin{split}
\omega-d\eta&=f(x,t)dx+g(x,t)dt-d\Bigl[\int_0^t g(x,s)ds\Bigr]\\
&=f(x,t)dx+g(x,t)dt-\Bigl[g(x,t)dt+(\int_0^t g_x(x,s)ds)dx\Bigr]\\
&=f(x,t)dx-(\int_0^t f_s(x,s)ds)dx\\
&=f(x,t)dx-(f(x,s)\bigr|_{s=0}^{s=t})dx\\
&=f(x,0)dx
\end{split}
\]

因此 $\omega-d\eta$ 称为 $S^1$ 上的闭形式, 也就是得到 $H_{\mathrm{dR}}^{1}(S^1\times\mathbb{R})$ 到 $H_{\mathrm{dR}}^{1}(S^1)$ 的一个同构, 即 $[\omega]\mapsto [\omega-d\eta]$.

故 $H_{\mathrm{dR}}^{1}(S^1\times\mathbb{R})\cong\mathbb{R}$.

当 $q=2$ 时, 设 $\omega=f(x,t)dx\wedge dt\in Z^{2}(S^1\times\mathbb{R})$. 令

\[
\eta=(-1)\cdot(\int_{0}^{t}f(x,s)ds)dx,
\]

则

\[
d\eta=(-1)f(x,t)dt\wedge dx=f(x,t)dx\wedge dt=\omega,
\]

因此 $H_{\mathrm{dR}}^{2}(S^1\times\mathbb{R})=0$.

直接利用定理

\[
H_{\mathrm{dR}}^{q}(M\times\mathbb{R})=H_{\mathrm{dR}}^{q}(M)
\]

即可得

\[
\begin{aligned}
H_{\mathrm{dR}}^{0}(S^1\times\mathbb{R})&\cong H_{\mathrm{dR}}^{0}(S^1)=\mathbb{R},\\
H_{\mathrm{dR}}^{1}(S^1\times\mathbb{R})&\cong H_{\mathrm{dR}}^{1}(S^1)=\mathbb{R},\\
H_{\mathrm{dR}}^{2}(S^1\times\mathbb{R})&\cong H_{\mathrm{dR}}^{2}(S^1)=0.
\end{aligned}
\]