[Def]正则点,临界点,正则值,临界值
设 $M$ 和 $N$ 是微分流形, $N$ 的维数 $\dim N=n$. 又设 $f:M\rightarrow N$ 是可微映射.
(1) 若 $p\in M$ 满足 $\text{rank}_p f < n$, 则称 $p$ 为 $f$ 的临界点.
(2) 若 $p\in M$ 满足 $\text{rank}_p f = n$, 则称 $p$ 为 $f$ 的正则点.
记 $f$ 的全体临界点的集合为 $C_f$ 或 $C(f)$. 全体正则点的集合就是 $M-C_f$.
(3) 若 $q\in N$ 满足 $f^{-1}(q)\cap C_f\neq\emptyset$, 那么就称 $q$ 为 $f$ 的临界值.
(4) 若 $q\in N$ 满足 $f^{-1}(q)\cap C_f=\emptyset$, 那么就称 $q$ 为 $f$ 的正则值.
$f$ 的全体临界值的集合就是 $f(C_f)$. $f$ 的全体正则值的集合是 $N-f(C_f)$. ($N$ 中的点不是正则值就是临界值, $M$ 中的点不是正则点就是临界点.)
注意全体正则值集合不是 $f(M-C_f)$.
(临界值的原像中不一定都是临界点, 正则点的像未必是正则点. 举个例子?)