问题及解答

设 $f:\ M^m\rightarrow N^n$ 为微分流形之间的光滑映射. 如果存在常数 $\ell$, 使得 $\text{rank}_p f=\ell$, $\forall\ p\in M$, 则对每个固定的 $q\in N$, $q$ 在 $f$ 下的原像

\[
f^{-1}(q)=\{p\in M\mid f(p)=q\}
\]

要么为空集, 要么为 $M$ 的正则子流形, 其维数为 $m-\ell$.

References:

梅加强, 《流形与几何初步》, P13. 定理 1.2.8.