问题及解答

证明: $C^k$ 映射限制到正则子流形上仍为 $C^k$ 映射.

设 $M^m$ 是 $N^n$ 的正则子流形, 根据定理, 知

$\forall\ p\in M$, 存在 $N$ 中含有 $p$ 的局部坐标邻域 $U$ 和坐标函数 $\varphi=\{x^1,x^2,\ldots,x^n\}$, 使得

\[
M\cap U=\{q\in U\mid x^i(q)=0,\ m+1\leqslant i\leqslant n\}.
\]

现在设 $f:\ N^n\rightarrow W$ 是 $C^k$ 映射, 根据定义, 对于 $(U,\varphi)$ 以及 $W$ 的局部坐标图卡 $(V,\psi)$,

\[
\psi\circ f\circ\varphi^{-1}
\]

是 $C^k$ 映射. 于是

\[
\psi\circ f|_{M\cap U}\circ\varphi_{M\cap U}^{-1}
\]

也是 $C^k$ 映射. 这里 $\varphi_{M\cap U}=\{x^1,\ldots,x^m\}$.