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问题及解答

证明 $\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i}\ (n>1)$ 不是整数.

Posted by haifeng on 2011-05-04 13:00:01 last update 0000-00-00 00:00:00 | Edit | Answers (0)

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Posted by haifeng on 2011-05-04 13:31:54

\[\begin{split}\sum_{i=2}^{n}\frac{1}{i}&=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}\\&=\frac{n(n-1)\cdots3\cdot 1+n(n-1)\cdots 4\cdot 2\cdot 1+\cdots +n(n-2)(n-3)\cdots 2\cdot 1+(n-1)!}{n!}\end{split}\]

若 $\sum_{i=2}^{n}\frac{1}{i}=m$, $m$为整数, 则

\[n!\cdot m=n(n-1)\cdots3\cdot 1+n(n-1)\cdots 4\cdot 2\cdot 1+\cdots +n(n-2)(n-3)\cdots 2\cdot 1+(n-1)!\]

这推出 $n|(n-1)!$, 当然当 $n$ 是素数时是不正确的. 即使可能对一部分 $n$ 正确, 在将上式中的 $n$ 约去后, 得 $(n-1)|(n-2)!$, 依次的应有 $j|(j-1)!$, 对任意 $j<=n$ 均成立, 显然这是不可能的, 因此 $\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i}$ 对于所有 $n>1$ 都不是整数.