设直线 $\ell_1$, $\ell_2$ 的方程分别为
\[
\ell_1:\quad\frac{x-4}{1}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z-8}{1},
\]
\[
\ell_2:\quad\frac{x+1}{7}=\frac{y+1}{-6}=\frac{z+1}{1}.
\]
1) 证明 $\ell_1$ 和 $\ell_2$ 异面;
2) 求它们的公垂线方程;
3) 求连接 $\ell_1$ 上的任一点和 $\ell_2$ 上的任一点线段中点的轨迹的一般方程.
注: 此为第六届中国大学生数学竞赛预赛题目(数学类 2014年10月)
1
$\ell_1$, $\ell_2$ 的方向向量分别是 $\vec{n}_1=(1,-2,1)$, $\vec{n}_2=(7,-6,1)$. 因此它们并不平行.
容易验证这两条直线不相交, 故异面.
令
\[
\frac{x-4}{1}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z-8}{1}=k,
\]
\[
\frac{x+1}{7}=\frac{y+1}{-6}=\frac{z+1}{1}=h.
\]
如果相交, 则
\[
(k+4, -2k+3, k+8)=(7h-1, -6h-1, h-1).
\]
这等价于
\[
\begin{cases}
k-7h=-5,\\
k-3h=2,\\
k-h=-9.
\end{cases}
\]
但这个方程组是无解的(系数矩阵的秩为 2, 而增广矩阵的秩为 3). 因此两直线不相交.
现在假设 $P=(k+4, -2k+3, k+8)\in\ell_1$, $Q=(7h-1, -6h-1, h-1)\in\ell_2$. 且 $PQ\perp\ell_1$, $PQ\perp\ell_2$.
\[
\overrightarrow{PQ}=(7h-k-5, -6h+2k-4, h-k-9),
\]
\[
\overrightarrow{PQ}\perp\ell_1\Leftrightarrow (7h-k-5)\cdot 1+(-6h+2k-4)\cdot(-2)+(h-k-9)\cdot 1=0,
\]
\[
\overrightarrow{PQ}\perp\ell_2\Leftrightarrow (7h-k-5)\cdot 7+(-6h+2k-4)\cdot(-6)+(h-k-9)\cdot 1=0,
\]
这等价于
\[
\begin{cases}
20h-6k-6=0,\\
86h-20k-20=0.
\end{cases}
\]
解得 $h=0$, $k=-1$. 于是 $\overrightarrow{PQ}=(-4,-6,-8)$, $Q=(-1,-1,-1)$. 故公垂线的标准方程为
\[
\frac{x+1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z+1}{4}.
\]
3) 下面仍假设 $P_1=(k+4, -2k+3, k+8)\in\ell_1$, $Q_1=(7h-1, -6h-1, h-1)\in\ell_2$, 且 $M$ 是线段 $P_1Q_1$ 的中点. 即
\[
\begin{split}
M&=\frac{1}{2}(P_1+Q_1)\\
&=\frac{1}{2}(k+4+7h-1,-2k+3-6h-1,k+8+h-1)\\
&=\frac{1}{2}(k+7h+3,-2k-6h+2,k+h+7).
\end{split}
\]
当 $k=-1,h=0$ 时, 即 $PQ$ 的中点, 记为 $M_0=(1,2,3)$. 容易验证 $MM_0\perp PQ$.
\[
2\cdot\Bigl(\frac{1}{2}(k+7h+3)-1\Bigr)+3\cdot\Bigl(\frac{1}{2}(-2k-6h+2)-2\Bigr)+4\cdot\Bigl(\frac{1}{2}(k+h+7)-3\Bigr)=0.
\]
因此, $M$ 点位于过点 $M_0$ 的与 $PQ$ 垂直的平面上.