$F(z,w)=\frac{1}{2\pi i}\int_{|\zeta|=r}\frac{f(z,\zeta)}{z-w}d\zeta$
设 $H\subset\mathbb{C}^2=\{(z,w):z,w\in\mathbb{C}\}$ 定义为
\[
H=\{(z,w)\ :\ |z| < 1, \frac{1}{2} < |w| < 1\}\cup\{(z,w)\ :\ |z| < \frac{1}{2}, |w| < 1\}.
\]
设 $f: H\rightarrow\mathbb{C}$ 是全纯映射, 固定某个 $r$ ($\frac{1}{2} < r < 1$). 令
\[
F(z,w)=\frac{1}{2\pi i}\int_{|\zeta|=r}\frac{f(z,\zeta)}{z-w}d\zeta.
\]
证明: $F(z,w)$ 在 $G=\{(z,w)\ :\ |z| < 1, |w| < r\}$ 上是全纯的.
观察到: 固定 $z_0$ ($|z_0| < \frac{1}{2}$), 则映射 $w\mapsto f(z_0,w)$ 在圆盘 $\{w:|w|<1\}$ 上是全纯的. 因此, 根据 Cauchy 积分公式, 对于 $|w| < r$, 有
\[
f(z_0,w)=\frac{1}{2\pi i}\int_{|\zeta|=r}\frac{f(z_0,\zeta)}{\zeta-w}d\zeta=F(z_0,w).
\]
于是在 $\{(z,w):|z|<\frac{1}{2},|w|<r\}$ 上有 $f\equiv F$.
根据 identity theorem 推出: 在 $H\cap G$ 上 $f\equiv F$. 因此 $F$ 给出了全纯函数 $f$ 在 $\hat{H}=H\cup G$ 上的全纯扩张.
Reference:
R. Michael Range, What is a Pseudoconvex Domain? [pdf]