问题及解答

证明: 所有边平行于相应对角线的任一凸五边形 $ABCDE$（即, 如 $AB\|CE$, $BC\|DA$ 等等）可被仿射变换到一个正五边形.

设定一个仿射变换 $f$, 将 $A$ 映为原点 $A'=O$. 且 $\overrightarrow{AB}\mapsto\vec{e}_1$, 即 $\overrightarrow{A'B'}=\vec{e}_1$.

$\overrightarrow{BC}\mapsto\overrightarrow{B'C'}$, 这里要求 $|B'C'|=|A'B'|=1$, 且 $\angle(\overrightarrow{A'B'},\overrightarrow{B'C'})=72^\circ$.

由于仿射变换将平行线变为平行线, 所以 $\overrightarrow{D'E'}\|\overrightarrow {A'C'}$, 从而五边形 $A'B'C'D'E'$ 关于过点 $B'$ 的垂直于 $D'E'$ 的直线是对称的.

要使得其他对角线与相应的边平行, 比如 $E'A'\|D'B'$, 必定推出五边形 $A'B'C'D'E'$ 是正五边形.