$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{c^2}{ab}f'(c)$
设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, 在 $(a,b)$ 内可导, $0\not\in[a,b]$. 证明存在一点 $c\in(a,b)$, 使得
\[
\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{c^2}{ab}f'(c).
\]
设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, 在 $(a,b)$ 内可导, $0\not\in[a,b]$. 证明存在一点 $c\in(a,b)$, 使得
\[
\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{c^2}{ab}f'(c).
\]
1
令 $g(x)=-\frac{1}{x}$, 则由柯西中值定理, 存在点 $c\in(a,b)$, 使得
\[
\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}.
\]
即
\[
\frac{f(b)-f(a)}{-\frac{1}{b}+\frac{1}{a}}=\frac{f'(c)}{\frac{1}{c^2}},
\]
化简得
\[
\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{c^2}{ab}f'(c).
\]