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问题及解答

$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{c^2}{ab}f'(c)$

Posted by haifeng on 2015-03-03 09:39:24 last update 2015-03-03 09:42:52 | Edit | Answers (1)

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, 在 $(a,b)$ 内可导, $0\not\in[a,b]$. 证明存在一点 $c\in(a,b)$, 使得

\[
\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{c^2}{ab}f'(c).
\]

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Posted by haifeng on 2015-03-03 09:42:09

令 $g(x)=-\frac{1}{x}$, 则由柯西中值定理, 存在点 $c\in(a,b)$, 使得

\[
\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}.
\]

\[
\frac{f(b)-f(a)}{-\frac{1}{b}+\frac{1}{a}}=\frac{f'(c)}{\frac{1}{c^2}},
\]

化简得

\[
\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{c^2}{ab}f'(c).
\]