问题及解答

给定 $\mathbb{R}^{2n+1}$ 中一个所有顶点都具有整数坐标的 $(2n+1)$ 维方体, 证明其边长是一整数.

通过平移, 不妨设原点是这个方体的一个顶点.

对于坐标都是整数的向量, 它们构成的平行多面体体积一定是整数. 这是因为体积等于这些生成向量所构成的行列式的绝对值.

显然两个顶点之间的距离平方也是整数, 因此该方体的边长的平方是整数.

现在假设 $a$ 是该方体的边长, 则体积 $a^{2n+1}$ 和边长的平方 $a^2$ 都是整数, 因此

\[
a=\frac{a^{2n+1}}{(a^2)^n}
\]

是有理数. 由于 $a^2$ 是整数, 所以 $a$ 也是一个整数.