问题及解答

若 $ax_0+by_0$ 是形如 $ax+by$ ($x,y$ 是任意整数, $a,b$ 是两个不全为零的整数)的数中的最小正数, 则 \[ (ax_0+by_0)\mid (ax+by), \] 其中 $x,y$ 是任何整数. 即

\[\min\{ax+by\mid ax+by>0, x,y\in\mathbb{Z}, a^2+b^2>0\}\mid(ax+by)\]

根据带余除法, 存在整数 $q,r$ 使得

\[ax+by=(ax_0+by_0)q+r,\]

其中 $0\leq r<(ax_0+by_0)$. 于是 $a(x-x_0 q)+b(y-y_0 q)=r$, 从而 $r$ 必为零, 否则与 $ax_0+by_0$ 为该类型中最小正数相矛盾.