问题及解答

设正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 收敛, $d_n:=a_n-a_{n+1}$ 严格单调递减.

证明: 存在某个正数 $N>0$, 当 $n>N$ 时, 有

\[
a_n^2 < (a_n-a_{n+1})\sum_{k=n}^{\infty}(a_{k}+a_{k+1}).
\]

（一）首先可以证明: $\forall\ n$, $d_n > 0$.

若假设存在某个 $n_0$, 使得 $d_{n_0}\leqslant 0$, 则由条件 $d_n$ 严格单调递减, 可知

\[
0\geqslant d_{n_0}>d_{n_0+1}>\cdots
\]

所以存在 $N_0 > 0$, 当 $n > N$ 时, $d_n < -\delta < 0$, 其中 $\delta$ 是某个正数. 从而

\[
a_{n+1}=a_n-d_n > a_n+\delta > \delta > 0,
\]

这与 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 收敛矛盾.

因此 $a_n$ 是严格递减趋于零的.

另一方面, 由于 $d_n$ 严格单调递减, 所以 $a_n-a_{n+1} > a_{n+1}-a_{n+2}$, 这推出

\[
a_{n+1} < \frac{1}{2}(a_n+a_{n+2}),
\]

两边除以 $a_n$, 得

\[
\frac{a_{n+1}}{a_n} <\frac{1}{2}(1+\frac{a_{n+2}}{a_n}),
\]

若记 $q_n=\frac{a_{n+1}}{a_n}$, 则可据此证明

\[
q_n<\frac{1}{2-q_{n+1}}.
\]

这个递归式子十分有趣, 可以得到

\[
q_n<\frac{1}{2-q_{n+1}}<\frac{1}{2-\frac{1}{2-q_{n+2}}}<\cdots
\]

注意到连分数

\[
\frac{1}{2-\frac{1}{2-\frac{1}{2-\ddots}}}=1.
\]

但这个对我们这里没有什么用.

对要证明的不等式

\[
a_n^2 < (a_n-a_{n+1})\sum_{k=n}^{\infty}(a_k+a_{k+1})
\]

两边同除以 $a_n^2$, 即等价于证明

\[
1 < (1-q_n)\sum_{k=n}^{\infty}(\frac{a_k}{a_n}+\frac{a_{k+1}}{a_n}),
\]

此即

\[
\begin{split}
1 &< (1-q_n)\biggl[1+2\sum_{k={n+1}}^{\infty}\frac{a_{k}}{a_n}\biggr]\\
&=(1-q_n)\biggl[1+2q_n(1+q_{n+1}+q_{n+2}q_{n+1}+q_{n+3}q_{n+2}q_{n+1}+\cdots)\biggr]
\end{split}
\]

下面分两种情况讨论.

(1) 假设 $\lim_{n\rightarrow\infty}q_n=1$, 设从某个 $N$ 起, 当 $n > N$ 时, 有 $q_n > 1-\delta$. 这里 $\delta$ 是个很小的正数. 则

\[
\begin{split}
&1+q_{n+1}+q_{n+2}q_{n+1}+q_{n+3}q_{n+2}q_{n+1}+\cdots\\
> &1+(1-\delta)+(1-\delta)^2+(1-\delta)^3+\cdots+(1-\delta)^m+\cdots\\
=&\frac{1}{1-(1-\delta)}=\frac{1}{\delta},
\end{split}
\]

于是

\[
\begin{split}
&(1-q_n)\biggl[1+2q_n(1+q_{n+1}+q_{n+2}q_{n+1}+q_{n+3}q_{n+2}q_{n+1}+\cdots)\biggr]\\
>&(1-q_n)\bigl[1+2q_n\cdot\frac{1}{\delta}\bigr]\\
=&1+\frac{2q_n}{\delta}-q_n-\frac{2q_n^2}{\delta}\\
=&1+q_n\biggl[\frac{2(1-q_n)}{\delta}-1\bigg]
\end{split}
\]

注意到虽然我们选取 $q_n > 1-\delta$, 但可以使得 $\frac{2(1-q_n)}{\delta}-1 > 0$. 从而使得

\[
1+q_n\biggl[\frac{2(1-q_n)}{\delta}-1\bigg] > 1
\]

成立. 要证明的不等式从而成立.

(2) 假设 $\lim_{n\rightarrow\infty}q_n=q < 1$.

这个更简单, 请完成.