问题及解答

已知函数 $f(x)=e^x+ax$.

(1) 设曲线 $y=f(x)$ 在 $x=1$ 处的切线与直线 $x+(e-1)y=1$ 垂直, 求 $a$ 的值;

(2) 若对任意实数 $x\geqslant 0$, $f(x) > 0$ 恒成立. 确定实数 $a$ 的取值范围.

(1) 曲线 $y=f(x)$ 在点 $x=1$ 处的切线的斜率为

\[f'(1)=(e^x+a)\biggr|_{x=1}=e+a.\]

而直线 $x+(e-1)y=1$ 的斜率为 $\frac{1}{1-e}$, 由条件, 切线与此直线垂直, 因此

\[(e+a)\cdot\frac{1}{1-e}=-1,\]

推出 $a=-1$.

(2) 由于 $f(0)=e^0+a\cdot 0=1$, 故若 $a\geqslant -1$, 则对于 $x\geqslant 0$, 有 $f'(x)=e^x+a\geqslant 0$. 从而有 $f(x)\geqslant 1$, 对于 $x\geqslant 0$.

现在假设 $f'(0)=1+a<0$.

令 $f'(x)=e^x+a=0$, 则 $x=\ln(-a)$. 当 $x\in[0,\ln(-a))$ 时, $f'(x)<0$; 当 $x\in(\ln(-a),+\infty)$ 时, $f'(x)>0$.

\[f(\ln(-a))=e^{\ln(-a)}+a\ln(-a)=(-a)(1-\ln(-a)),\]

只要令 $1-\ln(-a)\geqslant 0$, 即 $a\geqslant -e$, 即可使得 $f(x)\geqslant 0$ 对于 $x\geqslant 0$ 都成立.

因此所求 $a$ 的范围为 $[-e,-1)\cup[-1,+\infty)=[-e,+\infty)$.