问题及解答

设 $f(x)$ 是 $[0,1]$ 上的连续单调递减函数, 证明: 对任意 $x\in(0,1)$, 有

\[
\int_0^1 f(t)dt\leqslant\frac{1}{x}\int_0^x f(t)dt.
\]

令 $\varphi(x)=\frac{1}{x}\int_0^x f(t)dt$, 则 $\varphi(1)=\int_0^1 f(t)dt$.

\[
\varphi'(x)=\frac{f(x)\cdot x-\int_0^x f(t)dt\cdot 1}{x^2}=\frac{x f(x)-xf(\xi)}{x^2}=\frac{f(x)-f(\xi)}{x}\leqslant 0,
\]

这里 $\xi\in(0,x)$. 最后小于等于零是因为 $f(x)$ 是单调递减函数.

因此 $\varphi(x)\geqslant\varphi(1)$.